Avec une sphère - Amérique du Sud, septembre 2023

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ . On considère les points : $\text{A}(1;1;-4)$ , $\text{B}(2;-1;-3)$ , $\text{C}(0;1;-1)$ et $\Omega (1;1;2)$ .

1. Démontrer que les points $\text{A}$ , $\text{B}$ et $\text{C}$ définissent un plan.

2. a. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}(1;1;1)$  est normal au plan $(\text{ABC})$ .
    b. Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(\text{ABC})$ est $x+y+z+2=0$ .

3. a. Justifier que le point $\Omega$ n'appartient pas au plan $(\text{ABC})$ .
    b. Déterminer les coordonnées du point $\text{H}$ , projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(\text{ABC})$ .

On admet que $\Omega \text{H}=2\sqrt{3}$ .
On définit la sphère $S$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{3}$ comme l'ensemble de tous les points $\text{M}$ de l'espace tels que $\Omega \text{M}=2\sqrt{3}$ .

4. Justifier, sans calcul, que tout point $\text{N}$ du plan $(\mathrm{ABC})$ , distinct de $\text{H}$ , n'appartient pas à la sphère $S$ .

On dit qu'un plan $P$ est tangent à la sphère $S$ en un point $\text{K}$ lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

• $\text{K}\in P\cap S$
  
• $(\Omega \text{K})\perp P$
  

5. Soit le plan $P$ d'équation cartésienne $x+y-z-6=0$ et le point $\text{K}$ de coordonnées $\text{K}(3;3;0)$ . Démontrer que le plan $P$ est tangent à la sphère $S$ au point $\text{K}$ .

6. On admet que les plans $(\text{ABC})$ et $P$ sont sécants selon une droite $\Delta$ . Déterminer une équation paramétrique de la droite $\Delta$ .